Después de la revolución de 1959, Tamayo Méndez se unió a la Fuerza Aérea Cubana como piloto. En 1961 viajó a la Unión Soviética para entrenarse en el MiG-15, y durante la crisis de los misiles cubanos de 1962, realizó 20 misiones de reconocimiento. Fue seleccionado como candidato a cosmonauta en marzo de 1978 como parte del programa Intercosmos de la Unión Soviética.

Después de completar el entrenamiento de cosmonauta, Tamayo Méndez viajó al espacio a bordo del Soyuz 38 con el cosmonauta soviético Yury Romanenko el 18 de septiembre de 1980. Durante la misión de ocho días, la Soyuz 38 se acopló a la estación espacial Salyut 6 donde Tamayo y Romanenko realizaron varios experimentos científicos y estudios de investigación.

Se dice que en pleno vuelo, con una alegría inmensa, señalando con un dedo la tierra cubana dijo “Yo vengo de allá abajo”.

 Tamayo fue nombrado el Director de la Sociedad de Educación Patriótico-Militar «SEPMI». Tras su ascenso a general de brigada, se convirtió en Director de Asuntos Internacionales de las Fuerzas Armadas de Cuba. Además, desde 1980 es diputado de la Asamblea Nacional de Cuba, representando a su región natal de la provincia de Guantánamo.